Funkcje trygonometryczne jako funkcje okresowe nie są funkcjami różnowartościowymi. Mamy wiele (nieskończenie wiele) możliwości utworzenia ich różnowartościowych zawężeń. Szczególną rolę odgrywają następujące zawężenia (restrykcje):
\( \sin_{\vert\left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}:\left[{-\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]\ni x\to\sin x\in [-1,1], \)
\( \cos_{\vert [0,\pi]}:[0,\pi]\ni x\to \cos x\in [-1,1], \)
\( {\rm tg}_{\vert (-{\pi\over 2},{\pi\over 2})}:({-\pi\over 2},{\pi\over 2}) \ni x\to {\rm tg}\, x\in \mathbb R, \)
\( {\rm ctg}_{\vert [0,\pi]}:[0,{\pi}] \ni x\to {\rm ctg}\, x\in \mathbb R. \)

Powyższe zawężenia są funkcjami różnowartościowymi oraz „na”, czyli są bijekcjami, zatem posiadają funkcje odwrotne. Te funkcje odwrotne nazywamy funkcjami cyklometrycznymi .

Podstawowe własności funkcji arkus sinus wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji sinus i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \) dla każdego \( x\in X \), \( f(f^{-1}(x))=x \) dla każdego \( x\in Y \) wynika, że

\( \arcsin(\sin x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in \left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]. \)
\( \sin(\arcsin x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in [-1,1]. \)

Podobnie można skomentować pozostałe własności

\( \arcsin x=w\Leftrightarrow \sin w=x\quad \textrm{i}\quad w\in \left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right],\quad x\in [-1,1]. \)

Funkcje \( x\mapsto\arcsin x \) jest funkcją rosnącą jako odwrotna do rosnącego zawężenia funkcji sinus \( \left(\sin_{\vert\left[-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right]}\right) \).

Funkcja \( x\mapsto\arcsin x \) jest funkcją nieparzystą.

\( \arcsin(-x)=-\arcsin x,\quad x\in[-1,1]. \)

Funkcja \( x\mapsto\arcsin x \) jest funkcją ograniczoną

\( \vert\arcsin x\vert\le{\pi\over 2} \) dla każdego \( x\in [1,-1] \).

Podstawowe własności funkcji arkus kosinus wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji kosinus i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \) dla każdego \( x\in X \), \( f(f^{-1}(x))=x \) dla każdego \( x\in Y \), wynika, że

\( \arccos(\cos x)=x,\quad \textrm{dla}\quad x\in [0,\pi]. \)

\( \cos(\arccos x)=x,\quad \textrm{dla}\quad x\in [-1,1]. \)

Podobnie można skomentować pozostałe własności

\( \arccos x= w\Leftrightarrow \cos w=x\quad \textrm{i}\quad w\in [0,\pi],\quad x\in [-1,1]. \)

Funkcja \( x\mapsto\arccos x \) jest funkcją malejącą jako odwrotna do malejącego zawężenia funkcji kosinus \( (\cos_{\vert[0,\pi]}) \).

Funkcja \( x\mapsto\arccos x \) jest funkcją ograniczoną, czyli

\( 0\le\arccos x\le\pi,\quad\textrm{dla każdego}\quad x\in[-1,1]. \)

Funkcja \( x\to\arccos x \) nie jest funkcją parzystą, ani nieparzystą.

Podstawowe własności funkcji arkus tangens wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji tangens i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \), dla każdego \( x\in X \), \( f^{-1}(x)=x \), dla każdego \( x\in Y \) wynika, że

\( {\rm arctg}({tg}\, x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in (-{\pi\over 2},{\pi\over 2}). \)

Podobnie można skomentować pozostałe własności

\( {\rm tg}({\rm arctg}\, x)=x\quad \textrm{dla}\quad x\in\mathbb R, \)

\( {\rm arctg}\, x=w\Leftrightarrow {\rm tg}\, w=x\quad\textrm{i}\quad w\in(-{\pi\over 2},{\pi\over 2}),\quad x\in \mathbb R. \)

Funkcja \( x\mapsto {\rm arctg}\, x \) jest funkcją rosnącą jako odwrotna do rosnącego zawężenia funkcji tangens \( \left({\rm tg}_{\vert\left(-{\pi\over 2},{\pi\over 2}\right)}\right) \).

Funkcja \( x\mapsto {\rm arctg}\, x \) jest funkcją ograniczoną, czyli

\( \vert {\rm arctg x}\vert\le {\pi\over 2},\quad \textrm{dla każdego}\quad x\in\mathbb R \)

Funkcja \( x\mapsto {\rm arctg}\, x \) jest funkcją nieparzystą,

\( {\rm arctg}\, (-x)=-{\rm arctg}\, x,\quad \textrm{dla każdego}\quad x\in\mathbb R \)

Podstawowe własności funkcji arkus kotangens wynikają z faktu, że jest to funkcja odwrotna do odpowiednio zawężonej funkcji kotangens i z ogólnych własności funkcji wzajemnie odwrotnych. Na przykład z tego, że \( f^{-1}(f(x))=x \), dla każdego \( x\in X \), \( f(f^{-1}(x))=x \) dla każdego \( x\in Y \) wynika, że

\( {\rm arcctg}({\rm ctg}\, x)=x,\quad\textrm{dla}\quad x\in(0,\pi). \)

Podobnie można skomentować pozostałe własności

\( {\rm ctg}({\rm arcctg}\, x)=x,\quad \textrm{dla}\quad x\in\mathbb R, \)

\( {\rm arcctg}\, x=w\Leftrightarrow {\rm ctg}\, w=x\quad \textrm{i}\quad w\in (0,\pi),\quad x\in\mathbb R. \)

Funkcja \( x\mapsto {\rm arcctg}\, x \) jest funkcją malejącą jako odwrotna do malejącego zawężenia funkcji kotangens \( ({\rm ctg}_{\vert(0,\pi)}) \).

Funkcja \( x\mapsto {\rm arcctg}\, x \) jest funkcją ograniczoną.

\( 0\le {\rm arcctg}\, x\le\pi,\quad \textrm{dla każdego}\quad x\in \mathbb R. \)

Funkcja \( x\mapsto {\rm arcctg}\, x \) nie jest funkcją parzystą ani nieparzystą.

Pomiędzy funkcjami cyklometrycznymi (podobnie jak pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi) zachodzi wiele związków. Niektóre z nich, jak dwie tożsamości cyklometryczne podane poniżej można bardzo łatwo zauważyć. I tak spostrzegamy, że po przesunięciu "do góry" wykresu funkcji arkus sinus o wektor \( \vec v=[0, {\pi \over 2} ] \), a następnie przekształceniu przez symetrie względem osi \( 0\vec y \) otrzymujemy wykres funkcji arkus kosinus. Podobnie postępując z wykresem funkcji arkus tangens otrzymujemy wykres funkcji arkus kotangens.